影子价格定价方法是测算污染物边际减排成本的重要方法之一。计算污染物影子价格的思路是将污染物视为生产活动过程中为了生产社会所需要的产品时产生的副产品(undesirable output), 即非合意产出。根据生产过程中合意产出与非合意产出之间的数量替代关系以及合意产出的市场价格, 计算得到污染物的影子价格。
污染物的影子价格定义为减少一个单位非合意产出所需要放弃的合意产出的机会成本。污染物的影子价格是环境政策制定者重点关注的价格信息, 因为它可以为污染排放权交易和环境税提供重要的参考信息。
早期影子价格研究中超越对数形式的谢泼德距离函数占据了很大比例，而方向性距离函数（DDF）则是目前主流的影子价格模型，这是因为DDF函数下期望产出和非期望产出的数量能够向不同方向变化，可同时满足企业期望产出增长和非期望产出减少，更符合碳减排政策和低碳经济的发展要求。根据估计方法的不同DDF可分为参数和非参数两种：参数方法虽不够灵活，但测算结果稳定且易于解释；非参数方法不受距离函数形式限制，因而灵活且便于模型创新。
今天介绍的是使用基于参数法的DDF来计算污染物影子价格的工具。
方向性距离函数的构建：
假设有K 个决策单元，N 个投入要素，M个期望产出，和J 个非期望产出，引入方向向量g ＝（–1，1，–1），则第K个决策单元的方向性距离函数可以设为二次型方程：
利用线性规划的方法对于上式中的未知参数进行估算，以最小化每一个决策单元与生产前沿的距离之和，得到目标函数为：
其中，目标函数应当满足以下约束条件：
收益函数的构建：
采用方向性距离函数和收益函数之间的对偶关系对二氧化碳影子价格进行测算，p和q分别表示期望和非期望产出的价格，则收益函数表示为：
影子价格求解：
为了求解碳排放的影子价格，在产出距离函数与收益函数之间建立联系，根据方向性距离函数的平移性质，引入方向向量g ＝（gy，–gb），则收益函数可以转化为
由上式推出方向性距离函数的另一种表达形式，
分别对期望产出和非期望产出求导：
那么最后可以得到非期望产出的影子价格：
目前基于参数化的DDF方向性距离函数来测算影子价格，属于一种主流的研究方法，但是由于其涉及到了比较复杂的线性规划求解，做起来比较困难，这里写了一个脚本工具，用户只需要准备好投入、产出、非期望产出数据就可以得到如下结果：
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